Обычная линейная модель совместной интеграции ARDL (p, q) (Pesaran and Shin, 1999; Pesaran et al., 2001) с двумя временными рядами y_tand x_t (t = 1, 2,…, T) имеет следующий вид форма:
(1) ∆y_t = α_0 + ρy_ (t-1) + θx_ (t-1) + γz_t + ∑_ (j = 1) ^ (p-1) ▒α_j ∆y_ (tj) + ∑_ ( j = 0) ^ (q-1) ▒π_j ∆x_ (tj) + e_t
Где z_t – вектор детерминированных регрессоров (тренды, сезонные и другие экзогенные воздействия с фиксированными лагами), а e_t – независимый и идентично распределенный случайный процесс. В соответствии с нулевой гипотезой (т.е. y_t и x_t не интегрированы), коэффициенты лаговых уровней этих двух переменных в уравнении (1) совместно равны нулю (ρ = θ = 0). Pesaran et al. (2001) показали, что предположение об отсутствии коинтеграции может быть проверено с помощью модифицированного F-теста, обозначенного как F_PSS, или с помощью теста Вальда, обозначенного как W_PSS. Процедура испытаний опирается на две критические границы; верхний и нижний. Если эмпирическое значение F_PSS, статистика W_PSS превышает верхнюю границу, значение NULL отклоняется (имеются свидетельства долгосрочного равновесного отношения между y_t и x_t); если он лежит ниже нижней границы, y_tand x_tare не интегрируется; если оно лежит в пределах критических границ, тест нерешительный.
Подход ARDL к совместному тестированию имеет несколько интересных характеристик. Во-первых, он лучше подходит для небольших выборок по сравнению с альтернативными многомерными процедурами совместной интеграции. Во-вторых, он более эффективен, чем стандартный двухэтапный подход Энгла и Грейнджера (обычно используется при оценке асимметричных моделей EC и TVEC). В-третьих, он не требует ограничительного предположения о том, что все ряды интегрированы в одном и том же порядке, что позволяет включать как долгосрочные ряды I (0), так и I (1) (но не I (2)); это не только обеспечивает существенную гибкость, но также позволяет избежать потенциального «предвзяточного смещения», то есть спецификации долгосрочной модели только на основе переменных I (1) (например, Pesaran et al., 2001; Romilly et al. ., 2001).
Сочетание стохастических регрессоров в стандартном подходе ARDL является линейным, что подразумевает симметричные корректировки в долгосрочной и краткосрочной перспективе. Чтобы учесть асимметрию, Шин и др. (2014) представили модель NARDL, в которой x_tis разложен на положительные и отрицательные частичные суммы, то есть
〖(2) x〗 _t = x_0 + x_t ^ ++ x_t ^ –
<Р> Где
〖(3) x〗 _t ^ + = ∑_ (j = 1) ^ t▒ 〖∆x_j ^ +〗 = ∑_ (j = 1) ^ t▒max 〖(∆x_j, 0)〗 и x_t ^ – = ∑_ (j = 1) ^ t▒ 〖∆x_j ^ -〗 = ∑_ (j = 1) ^ t▒min 〖(∆x_j, 0)〗
Тогда асимметричные долгосрочные равновесные отношения можно выразить как:
〖(4) y〗 _t = β ^ + x_t ^ ++ β ^ – x_t ^ – + u_t
Где β ^ + и β ^ – асимметричные долгосрочные параметры, связанные с положительными и отрицательными изменениями в x_t соответственно. Шин и др. (2014) показали, что, комбинируя (4) с моделью ARDL (p, q) (1), мы получаем модель NARDL (p, q) в виде:
(5) ∆y_t = α_0 + ρy_ (t-1) + θ ^ + x_ (t-1) ^ ++ θ ^ – x_ (t-1) ^ – + ∑_ (j = 1) ^ (p-1) ▒α_j ∆y_ (tj) + ∑_ (j = 0) ^ (q-1) ▒ 〖(π_j ^ + ∆x_ (tj) ^ +〗 + π_j ^ – ∆x_ (tj) ^ -) + e_t
Где θ ^ + = – ρ⁄β ^ + и θ ^ – = – ρ⁄β ^ –
Эмпирическая реализация модели NARDL включает четыре этапа. Первый заключается в оценке (5) по стандартному МНК. Второе – проверить существование асимметричной коинтегрирующей взаимосвязи между уровнями рядов y_t, x_t ^ + и x_t ^ -. В соответствии с подходом, предложенным Shin et al., (2014); нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции (ρ = θ ^ + = θ ^ – = 0) может быть проверена с использованием статистики F_PSS (W_PSS). Третий – это тестирование на долгую и короткую симметрию. Для долгосрочной симметрии соответствующая нуль-гипотеза принимает форму β ^ + = β ^ – (т.е. -θ ^ + ⁄ρ = -θ ^ -⁄ρ) и проверяется с помощью стандартного теста Вальда. Для краткосрочной симметрии соответствующая нулевая гипотеза может принимать любую из следующих двух форм: парная (сильная) симметрия, требующая π_j ^ + = π_j ^ -для всех j = 1,2,…, q-1 или аддитивной ( слабой формы) симметрия, требующая ∑_ (j = 0) ^ (q-1) ▒π_j ^ + = ∑_ (j = 0) ^ (q-1) ▒π_j ^ -. Эти гипотезы также проверяются с помощью стандартного теста Вальда. При условии, что существует асимметрия (либо в долгосрочной перспективе, либо в краткосрочной перспективе, либо в обеих), четвертый шаг включает в себя получение положительных и отрицательных динамических множителей, связанных с изменениями единиц в x_t ^ + и x_t ^ -. Они рассчитываются как
〖(6) m〗 _h ^ + = ∑_ (j = 0) ^ h▒ (∂y_ (t + j)) / (∂x_t ^ +) и m_h ^ – = ∑_ (j = 0 ) ^ h▒ (∂y_ (t + j)) / (∂x_t ^ -)
С h = 0,1,2,… для x_t ^ + и x_t ^ – соответственно. Тогда как h → ∞, то m_h ^ + → β ^ + и m_h ^ – → β ^ -. Описывая и анализируя пути корректировки и / или продолжительность неравновесия после начальных положительных или отрицательных возмущений цен, m_h ^ + и m_h ^ -добавьте полезную информацию к долгосрочным и краткосрочным образцам асимметрии.
В период с 1001 по 1100 год в Западной Европе и Китае произошли обширные изменения в их эпоху. В результате перемен политика, экономика и интеллект
В ходе исследования были определены три императивные цели, которые должны определить взаимосвязь между денежным продвижением, разбуханием и безработицей, изучить воздействие отека в Пакистане и оценить
Одним из наиболее важных событий после Второй мировой войны стало разделение Индийского субконтинента на государства, теперь известные как Пакистан и Индия. Британские финансовые потери были