Сочинение на тему Идеи интегрального и производного исчисления
- Опубликовано: 05.10.2020
- Предмет: Наука
- Темы: Исчисление, математический
Часто говорят, что кто-то теряется в истории или мире, или даже в собственных мыслях, но что это за потеря? Потерянный, где вы так запутались в истории, настолько ошеломлены, что не можете найти, какой путь идет вверх, какой путь идет вниз, или даже не имеете ни малейшего представления, куда повернуть дальше? Или это потерянное место, где вы оказались в сюжетной линии, в жизнях и личных чувствах персонажа, что вы надеетесь, что вам больше никогда не придется всплывать на поверхность, что вы можете просто продолжать жить в мире книг-историй. Вот как я в математике: я хочу быть втянутым в мир, язык математики, тысячи теорем, формул и законов, и я никогда больше не выйду.
Эта статья объединит несколько идей исчисления, основанных на двух основных темах: интегральной и производной. Производная – это мгновенная скорость изменения функции в определенной точке. Еще один способ думать о производной – как график изменяется при увеличении или уменьшении x. Интеграл, или анти-производное, как его обычно называют, противоположен, потому что его можно рассматривать как отмену дифференцирования.
Первая проблема заключается в следующем:
Ученый измеряет глубину реки Доу в точке пикника. В этом месте река имеет ширину 24 фута. Измерения проводятся по прямой линии, перпендикулярной к краю реки. Данные приведены в таблице ниже. Скорость воды в точке пикника, в футах в минуту, моделируется с помощью v (t) = 16 + 2sin () в течение 0 ≤ t ≤ 120 минут.
Расстояние от края реки (футы) 0 8 14 22 24
Глубина воды (футы) 0 7 8 2 0
а) Используйте трапециевидную сумму с четырьмя подинтервалами, указанными в данных таблицы, чтобы приблизить площадь сечения реки в точке пикника в квадратных футах. Покажите вычисления, которые приведут к вашему ответу.
Первый шаг – узнать, что такое трапециевидное правило и что оно делает. Правило трапеции делит площадь под кривой определенного интеграла на трапеции с различной шириной и высотой на основе предоставленных данных. Площадь этих трапеций затем складывается, чтобы найти приближение общей площади под кривой. Известная и принятая формула для площади трапеции:
〖Площадь〗 _T = 1/2 (h_1 + h_2) w
где h1 и h2 представляют высоты трапеций, а w представляет ширину трапеций. Площадь первой трапеции с высотами 0 и 7 и шириной 8 составляет 28 футов 2, площадь второй трапеции с высотами 7 и 8 и шириной 6 составляет 45 футов 2, площадь третьей трапеции с высотами 8 и 2 и шириной 8 составляет 40 фут2, а площадь четвертой и последней трапеции с высотами 2 и 0 и шириной 2 составляет 2 фут2. Площадь под кривой, используя правило трапеции, можно найти с помощью уравнения
<Р> 〖〗 Площадь _Всего = A_1 + А_2 + A_3 + A_4
Таким образом, общая площадь поперечного сечения реки составляет 115 фут2.
б) Объемный поток в месте вдоль реки является произведением площади поперечного сечения и скорости воды в этом месте. Используйте свое приближение из части (а), чтобы оценить среднее значение объемного потока в точке пикника, в кубических футах в минуту, от t = 0 до t = 120 минут.
Среднее значение объемного расхода можно рассчитать по уравнению
1 / (b-a) ∫_a ^ b▒ 〖c * f (x) □ (24 и dx)〗
где a – начальная точка, b – конечная точка, c – постоянная, а f (x) – уравнение. Это теорема о среднем значении, и ее можно использовать, потому что функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на отрезке (a, b). В контексте этой проблемы начальная точка равна 0, конечная точка равна 120, константа – это поперечное сечение реки, обозначенное буквой а, 115 фут2, а уравнение – это уравнение, данное для скорости речной воды. , v (t) = 16 + 2sin (). Расчет среднего значения тогда
1 / (120-0) ∫_0 ^ 120▒ 〖115 * v (t) □ (24 & dt)〗
и оценивается равным 1807,17, а единицы измерения – фут3 / мин на основе единиц постоянной (ft2), умноженной на единицы уравнения (фут / мин).
в) Ученый предлагает функцию f, заданную f (x) =, в качестве модели для глубины воды, в футах, в точке пикника на расстоянии фута от края реки. Найдите площадь сечения реки в точке пикника на основе этой модели.
Площадь поперечного сечения может быть рассчитана путем интегрирования данного уравнения от начального значения до конечного значения. Общее уравнение для интегрирования:
<Р> ∫_a ^ b▒ 〖Р (х) □ (24 & дх)〗
где a – начальная точка, b – конечная точка, а f (x) – заданное уравнение. В контексте проблемы начальная точка будет равна 0, а конечная точка будет равна 24, поскольку это общая ширина реки, а уравнение будет приведенным выше уравнением. Используя уравнение и приведенные данные, площадь поперечного сечения может быть найдена равной 122,23 фут2.
d) Напомним, что объемный поток является произведением площади поперечного сечения и скорости воды в месте. Чтобы предотвратить затопление, воду необходимо отвести, если среднее значение объемного расхода в точке пикника превышает 2100 кубических футов в минуту в течение 20-минутного периода. Используя ваш ответ из части c), найдите среднее значение объемного расхода за промежуток времени 40 ≤ t ≤ 60 минут. Указывает ли значение, что вода должна быть отведена?
Среднее значение объемного расхода можно рассчитать по той же формуле, что и выше.
1 / (b-a) ∫_a ^ b▒ 〖c * f (x) □ (24 и dx)〗
но на этот раз, используя значения 40 минут для a, 60 минут для b, 122,23 фут2 в качестве постоянной и то же уравнение скорости, v (t) = 16 + 2sin (√ (x + 10)), среднее значение объемного расхода составляет 2181,89 фут3 / мин. Поэтому поток должен быть отведен от этой части реки.
<Р> 2. 700 человек стоят в очереди на популярную прогулку по парку развлечений, когда поездка начинается утром. Как только начинается эксплуатация, поездка принимает пассажиров, пока парк не закроется через 8 часов. В то время как есть линия, люди идут на поездку со скоростью 800 человек в час. На графике ниже показана скорость r (t), с которой люди прибывают на аттракцион в течение дня. Время t измеряется в часах с момента начала движения.
Сколько людей прибывают на поездку между t = 0 и t = 3? Покажите вычисления.
Количество гонщиков, прибывших на поездку между t = 0 и t = 3, можно рассчитать, используя правило трапеции и график ниже. Это может быть сделано, потому что область под кривой на данном интервале соответствует количеству гонщиков, которые прибыли в этот период времени. В данном интервале можно сделать две трапеции: одну от t = 0 до t = 2 и вторую от интервала t = 2 до t = 3. Для первой трапеции высота равна 1000 и 1200, а ширина равна 2, поэтому площадь равна 2200, а для второй трапеции высота равна 1200 и 800, при ширине 1, поэтому площадь равна 1000. Поэтому общая площадь под кривой и количество пассажиров, прибывших на поездку между t = 0 и t = 3, составили 3200 пассажиров.
Увеличивается или уменьшается число людей, ожидающих в очереди, чтобы попасть в поездку, между t = 2 и t = 3? Обоснуйте.
Число людей, ожидающих поездки, увеличивается между t = 2 и t = 3, поскольку скорость, с которой пассажиры попадают в поездку, составляет 800 пассажиров в час, а скорость, с которой пассажиры прибывают на поездку, составляет уменьшаясь между t = 2 и t = 3, он по-прежнему превышает 800 пассажиров в час.
В какое время (t) линия для поездки самая длинная? Сколько человек в очереди в то время? Обоснуйте.
Предполагается, что пассажиры едут во время поездки, а затем выходят со скоростью 800 пассажиров в час, и на основании графика на интервале времени от t = 0 до t = 3 люди прибывают на линию быстрее, чем уходят. линия, поэтому линия растет. Однако при t = 3 люди начинают входить в линию гораздо медленнее, поэтому линия будет расти медленнее. В момент времени t = 3 линия является самой длинной, какой она будет. Количество пассажиров можно найти, сложив количество людей в очереди в момент времени t = 0, 700, с количеством пассажиров, попавших в линию между моментами времени t = 0 и t = 3, 3200 и вычтя количество пассажиров, которые ехали в очереди. ездить в тот же промежуток времени, 800 * 3 или 2400. Количество пассажиров в очереди при t = 3 составляет 1500 пассажиров.
Напишите, но не решайте, уравнение, включающее интегральное выражение r, решение которого дает самое раннее время t, в которое больше нет линии для поездки.
Уравнение для определения самого раннего времени, когда никого не будет в очереди, является
<Р> 0 = 700 + ∫_0 ^ t▒r (х) дх-800T
где t – время Это общая форма уравнения, используемого в букве с. Количество людей в очереди в данный момент времени t можно узнать, прибавив количество людей в очереди в момент времени t = 0, 700 к числу пассажиров, которые встают в очередь с начала, t = 0, до этой точки, t , который представлен интегралом от 0 до t скорости, с которой люди прибывают в очередь, и затем из этой суммы вычитается количество людей, которые уже ехали и вышли из поездки. Это уравнение установлено равным 0, чтобы найти, когда никого не будет в строке.
Математика – прекрасный язык, который понимают только некоторые. Требуется, чтобы особый человек мог обернуть голову вокруг кусочков информации, решить, какие из тысяч формул, теорем и принципов применимы, и сделать что-то из почти ничего. Это почти как волшебство! Это странно, это сложно, это интригует, это удивительно: это чудесный мир математики.
Никколо Макиавелли – один из значительных политических и философских мыслителей, известных многим из нас. Макиавелли прежде всего известен фразой «цель оправдывает средства», которая постоянно была
Историческое развитие экспериментов и теории В истории научного развития всегда было некоторое отставание между сбором данных в природе и теориями, которые описывают эти наблюдения. Конечно,
В этом подкасте два комментатора рассказывают историю сумасшедшего процесса событий, в котором участвовали две девушки по имени Лора Бакстон, воздушный шар, и их дружба, объединенная