Сочинение на тему Набор Кантора: как это работает

Насколько большим может быть набор с нулевой “длиной”?

Эта статья будет кратким изложением моих выводов в ответах на вопросы: «Насколько большим может быть набор с нулевой« длиной »?». В этой статье я буду объяснять факты, касающиеся множества Кантора. Набор Кантора – лучший пример для ответа на этот вопрос, поскольку он считается имеющим нулевую длину. Набор Кантора был открыт в 1874 году Генри Джоном Стивеном Смитом, а позднее он был представлен Грегором Кантором в 1883 году. Тернарный набор Кантора является наиболее распространенной современной конструкцией этого набора.

Троичное множество Кантора создается путем удаления открытой средней трети (,,) из интервала [0,1], оставляя отрезки линии [] и]. Открытая средняя треть оставшихся линейных сегментов удаляется, и этот процесс повторяется бесконечно. На каждой итерации этого процесса будет сохраняться s начальной длины отрезка (на данном шаге). Таким образом, общая длина отрезков линии на n-й итерации будет: Ln = n, а количество отрезков линии в этой точке будет: Nn = 2n. Из этого также можно выяснить, что открытые интервалы, которые будут удалены этим процессом на n-й итерации, будут + +. , , +.

Поскольку набор Кантора представляет собой набор точек, не удаленных вышеуказанным процессом, легко определить общую удаленную длину, а сверху легко увидеть, что на n-й итерации удаляемая длина стремится к. < / р>

Таким образом, общая удаленная длина будет геометрической прогрессией: = + + + + .. = () = 1. Легко определить, какая пропорция равна 1 – 1 = 0, предполагая, что набор Кантора не может содержать никаких интервал ненулевой длины. Таким образом, сумма удаленных интервалов равна длине исходного интервала. На каждом шаге множества Кантора мера множества равна, так что мы можем обнаружить, что множество Кантора имеет меру Лебега n на шаге n. Поскольку построение множества Кантора является бесконечным процессом, мы можем видеть, как эта мера стремится к 0,. Следовательно, весь набор Кантора имеет общую меру 0.

Однако должно быть что-то еще, поскольку процесс удаления выходит за конечные точки открытых интервалов. Дальнейшие шаги также не удаляют эти конечные точки или фактически любую другую конечную точку. Удаленные точки всегда являются внутренними точками открытого интервала, выбранного для удаления. Поэтому набор Кантора не является пустым и содержит несчетное количество элементов, однако конечные точки в наборе являются счетными. Примером конечных точек, которые не будут удалены, являются и, которые являются конечными точками первого этапа удаления. В наборе Кантора есть больше элементов, кроме конечных точек, которые также не удаляются. Типичным примером этого является интервал [0]. Легко сказать, что между любыми двумя из замкнутых интервалов в множестве Кантора будет бесконечно много других чисел, подобных этому примеру.

Сверху легко увидеть, что множество Кантора содержит все точки отрезков, не удаленные этим бесконечным процессом в интервале [0,1]. Поскольку процесс построения бесконечен, множество Кантора рассматривается как бесконечное множество, т.е. оно имеет бесконечное число элементов. Набор Кантора содержит все действительные числа в замкнутом интервале [0,1], которые имеют хотя бы одно троичное расширение, содержащее только цифры 0 и 2, это результат того, как записано троичное расширение. Как написано в третьей базе, дробь будет равна десятичной 0,1 (также 0,0222 ..), поэтому равна 0,2 и равна 0,01. На первом этапе построения набора мы удалили все действительные числа, троичное десятичное представление которых содержит 1 в первом десятичном знаке, кроме самого 0,1 (это и мы обнаружили, что оно содержится в множестве Кантора). , Выбор представления как 0,222 .. это удаляет все троичные десятичные дроби, которые имеют 1 во втором десятичном знаке. На третьем этапе удаляются те, у кого 1 в третьем десятичном знаке и т. Д. После удаления всех чисел оставленные числа, т. Е. Набор Кантора, представляют собой числа, состоящие из троичных десятичных представлений, состоящих полностью из 0 и 2.

Тогда можно отобразить каждые 2 в любом числе в Канторе, установленном в 1, если мы сделаем это, он даст полный набор чисел в интервале [0,1] в двоичном виде и, следовательно, отобразит все интервал [0,1]. Это означает, что существует отображение, которое имеет свое изображение как весь интервал [0,1], а это означает, что существует исключение из Кантора для всех действительных чисел в интервале [0,1]. Поскольку действительные числа неисчислимы, множество Кантора также должно быть неисчисляемым. Поэтому набор Кантора должен содержать столько же точек, сколько набор, из которого он сделан, и он не содержит интервалов. Комплимент набора Кантора состоит из точек, которые не содержатся в наборе Кантора, то есть точек, которые удаляются из интервала [0,1] во время построения набора Кантора.