Сочинение на тему Правила и теоремы о исчислении

Удивительный мир математики странный, но красивый и простой, но сложный. В детстве нас учили, что такое числа, их числовое значение и как их использовать. Затем внезапно начинают появляться буквы рядом с числами, и нам говорят, что это называется алгебра, продвинутая форма математики. Внезапно мы чувствуем себя королями мира, мы знаем алгебру! Несколько лет спустя мы входим в исчисление, и определение того, что мы называем математикой, больше не верно. Теперь мы добавляем, вычитаем, умножаем и делим в наших головах, строим воображаемые числа и рисуем вещи в трех измерениях. Звучит сложно, правда? Но на самом деле это не так, это на самом деле довольно просто.

Две основные темы исчисления – это интеграл и производная. Производная – это мгновенная скорость изменения функции в определенной точке. Другой способ думать о производной – как меняется график при увеличении или уменьшении x? Интеграл, или анти-производное, как его обычно называют, противоположен, потому что его можно рассматривать как устранение дифференциации. Поскольку они так тесно связаны, можно установить множество реальных связей. Если дан график скорости, как показано на рисунке 1, интеграл графика будет представлять пройденное расстояние или положение. На рисунке 2 показан соответствующий график расстояния. Учитывая тот же график скорости, производная графика будет представлять ускорение, как показано на рисунке 3.

Единицами для графика расстояний являются метры, поскольку отображаемые данные показывают, насколько далеко сдвинулся объект. Производная графика расстояния, графика скорости, имеет единицы измерения метров в секунду, потому что она показывает, насколько быстро перемещается положение объекта. Производная от графа скорости и, следовательно, вторая производная от графа расстояний – это график ускорения. График ускорения в единицах метров в секунду в секунду, потому что он показывает, как быстро меняется скорость. Вторым примером может быть область. Интеграл площади – это объем, а производная площади – длина.

Часто учитель ставит перед учеником задачу, которая гласит: «учитывая график функции f (x), нарисуйте производную f’ (x) ». Или иногда это может быть даже «учитывая график производной f’ (x), нарисуйте исходную функцию f (x) ». Поначалу это может показаться пугающим, но на самом деле это не так долго, как известно несколько ключевых идей. Эти ключевые идеи: критические точки, изменения знака первой и второй производной, вогнутость и точки перегиба, а также максимумы и минимумы функции. Критическая точка – это максимум или минимум, это точка, где производная равна нулю, и это также конечные точки. На рисунке 4 показан график функции f (x) на отрезке [a, e]. Этот график имеет 5 критических точек: a является конечной точкой, b является максимумом, c является минимумом, d является максимумом и e является другой конечной точкой. Если бы нарисовать график производной этого, он пересек бы ось х, f ’(x) = 0, в каждой из этих точек. Вторым ключевым моментом является знание того, что означают изменения знака первого и второго производных графов для исходной функции. В производном графе график находится выше оси X, график исходной функции увеличивается, а когда график производной находится ниже оси X, график исходной функции уменьшается. На рис. 5 показаны оригинал f (x) и производная f ’(x) на приблизительном интервале -2
 <Х <3. начиная с интервала -1  .

Другой ключевой идеей является использование первой и второй производных для поиска точек перегиба на основе вогнутости. Точка перегиба возникает, когда вторая производная, f ’’ (x), равна нулю. Простой способ отличить точки перегиба с использованием исходного графика – это изменение вогнутости. Если график идет от вогнутого вверх к вогнутому вниз, и наоборот, возникает точка перегиба. Если первый производный граф идет от увеличения к уменьшению или наоборот, то возникает точка перегиба. На рисунке 6 показан график функции приблизительно от x = 0 до x = 3. График является вогнутым вниз от x = 0 до приблизительно x = 1.4 и вогнутым вверх от приблизительно x = 1.4 до x = 3, это означает, что точка перегиба возникает при x = 1.4.

В графе глобальный максимум и минимум – это абсолютный максимум и минимум всего графа, но на всем графике может быть несколько локальных максимумов и минимумов. Локальные максимумы и минимумы возникают, когда точка f (c) является самой высокой или самой низкой точкой, соответственно, в соседней точке c. Первая и вторая производные могут использоваться для определения, является ли точка локальным максимумом или локальным минимумом. На рисунке 7 показана функция f (x) от x = a до x = e. Этот график имеет максимумы, один на b и один на d. B – локальный максимум, потому что это самая высокая точка на этом участке графа, а d – глобальный максимум, потому что это самая высокая точка на всем графе. Есть также два минимума, один в а и в с. C является локальным минимумом, потому что это самая низкая точка на этой части графа, но a является глобальным минимумом, потому что это самая низкая точка на всем графе. Если первая производная f ’(x) переходит от положительного к отрицательному при x = c, то c является локальным максимумом, а если f‘ (x) переходит от отрицательного к положительному при x = c, то c является локальным минимумом. Если f ” (x) положительно, то график функции f (x) является вогнутым вверх при x = c, а если f ” (x) отрицателен, то график функции f (x) вогнут вниз при x = с. Если f ’(c) = 0 и f’ ’(c) положительна, то f (c) является локальным минмием. Если f ’(c) = 0 и f’ ’(c) отрицательно, тогда f (c) – локальный максимум, это называется тестом второй производной.

Существует несколько теорий исчисления, некоторые из которых основаны друг на друге. Например, существуют формы фундаментальной теории исчисления. Первая форма утверждает, что если g (x) = ∫_a ^ b▒ 〖f (x)〗 dx, то ∫_a ^ b▒ 〖f (x)〗 dx = g (b) -g (a) и является способом оценки определенного интеграла. Например,

если g (x) = ∫_2 ^ 4▒x ^ 5 дх

g (x) = ├ 1/6 x ^ 6] _2 ^ 4 = 1/6 4 ^ 6-1 / 6 2 ^ 6 = 672

Вторая форма утверждает, что если g (x) = ∫_a ^ x▒ 〖f (t)〗 dt, где a является константой, то g ‘(x) = f (x) и является способом оценки неопределенный интеграл. Это делается путем включения верхнего предела переменной в уравнение с последующим умножением на производную верхнего предела переменной. Так

если g (x) = ∫_a ^ x▒t ^ 2 dt, то g ’(x) = x2

и если g (x) = ∫_a ^ (x ^ 2) ▒t ^ 2 dt, то g ’(x) = 2 × 5

Два других метода исчисления, которые тесно связаны между собой, – это промежуточное значение therom и среднее значение therom. Промежуточное значение therom утверждает, что если функция f (x) является непрерывной на отрезке [a, b] и y является числом между f (a) и f (b), то существует число, x = c, между a и b, для которых f (c) = y. На рисунке 8, если x = 0 представляли a, а x = 3 представляли b, ясно видно, что функция непрерывна на отрезке [a, b], тогда f (a) = 0 и f ( b) = – 27, поэтому существует значение для x = c между a и b, для которого f (c) = y. Среднее значение therom отодвигает эту идею на шаг дальше. В нем говорится, что если f (x) дифференцируемо на открытом интервале (a, b) и непрерывно на закрытом интервале [a, b], то существует хотя бы одно значение для x = c в (a, b), где f ‘(c) = (f (b) -f (a)) / (ba). Эту теорему проще сказать, что если функция дифференцируема и непрерывна, то скорость изменения при c будет равна скорости изменения между a и b.

Последнее важное отношение – это соотношение между противоположными интегралами. Интеграл противоположен, поэтому равен -.

Например,

∫_0 ^ 2▒ 〖x ^ 2 dx〗 = ├ x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 2 ^ 3 / 3- 0 ^ 3/3 = 8/3 и ∫_2 ^ 0▒ 〖x ^ 2 dx〗 = ├ x ^ 3/3] _2 ^ 0 = 0 ^ 3 / 3- 2 ^ 3/3 = -8 / 3.

Все ранее упомянутые идеи могут быть использованы для решения следующих двух проблем. 1) Пусть f – функция, определенная на отрезке -5 ≤ x ≤ 5 с f (1) = 3. График f ‘, производной от f, состоит из двух полукругов и двух отрезков, как показано на рисунке .

a) Для -5

f ‘(x) = 0 при -3, 1 и 4, f’ (x) переходит от положительного к отрицательному при -3 и при 4, поэтому f имеет относительные максимумы при x = -3 и x = 4 < / р>

b) Для -5

f ’(x) идет от направления изменений в -4, -1 и 2, поэтому в

есть точки перегиба

x = -4, x = -1 и x = 2

в) Найти все интервалы, на которых график f вогнут и имеет положительный наклон. Обоснуйте.

График f будет вогнутым, когда график f ’(x) будет увеличиваться и будет положительным, поэтому, когда -5
 <х <-4 и когда 1 <х <2. положительное сечение на f приведет к фрагменту f ’(x), следовательно, выше оси x. и график f ’(x) положителен, f’ ’(x) также будет, что приводит к вогнутости.

d) Найдите абсолютное минимальное значение f (x) в течение закрытого интервала -5 ≤ x ≤ 5. Обоснуйте.

Абсолютный минимум может быть в месте, где f ‘(x) = 0 и где f’ ‘(x) отрицательно, или когда f’ (x) переходит от отрицательного значения к положительному, что равно x = 1, поэтому f ( 1) = 3, или это может быть на одной из конечных точек, не могу забыть этих парней.

e) Пусть g будет функцией, заданной g (x) = Find g (3), g ’(3) и g» (3). Обоснуйте.

g (3) = площадь под кривой от f ‘(1) до f’ (3) =. 5 (1) (2) +. 5 (1 + 2) * 1 = 2,5 квадратных единицы