Сочинение на тему Ограниченный расширенный фильтр Калмана

P_prev = (I – K * H) * P;

Где,

F – частная производная функции f по x;

H – частная производная функции h по xp_est;

Поскольку система аппроксимируется, чтобы быть линейной в локальном x, таким образом, фильтр больше не является оптимальным. Чем выше погрешность в приближении, тем выше погрешность фильтрации. В EKF GRV аппроксимирует распределение состояний, а затем это распределение состояний распространяется через линеаризацию нелинейных систем ряда Тейлора первого порядка.

Ограниченный фильтр Калмана

Фильтр Калмана является оптимальной оценкой состояния для линейной динамической системы, поскольку он использует всю доступную информацию о системе для оценки состояний. Но дизайн нашей системы может быть таким, что у нас могут быть некоторые ограничения на переменную состояния, но мы не включили ни одного из ограничений в обычное уравнение фильтра, это делает фильтр неоптимальным.

Но когда мы знаем, что состояние системы ограничено, но не включено в фильтр, фильтр становится неоптимальным. Таким образом, используя другой метод и аналогию, дополнительные фильтры включены в фильтр, чтобы использовать доступную информацию о системе.

Итак, сначала рассмотрим только линейное ограничение равенства, предположим, что мы имеем: D * x = d; в качестве ограничения состояния, где D – известная матрица, а d – известный вектор.

Есть много методов, с помощью которых мы можем включить ограничения в фильтр:

 
1. Идеальное измерение

 

2. Уменьшение модели

 

3. Государственный прогноз

 

4. Gain Projection

 

5. усечение PDF

Если система или ограничение являются нелинейными, тогда фильтр дает разные результаты для разных методов, в то время как результат одинаков, если ограничение и система являются линейными.

Это связано с тем, что функции аппроксимируются, и это будет отличаться для разных подходов.

Идеальное измерение

Предположим, уравнение измерения равно

y = H * x + v;

и мы знаем, что система следует за D * x = d; Таким образом, мы можем добавить это в приведенном выше уравнении как идеальное измерение с нулевой ошибкой, чтобы фильтр знал, что это идеальное измерение и должен слепо следовать ограничениям.

Уменьшение модели

Используя уравнение ограничения D * x = d, мы можем получить отношения между переменными состояния и, следовательно, уменьшить размер переменной состояния. Но при этом переменная состояния потеряет свою физическую значимость, но преимущество в том, что теперь нам приходится иметь дело с меньшим числом переменных состояния.

Gain Projection

В этом методе коэффициент усиления фильтра изменяется таким образом, чтобы мы могли ограничить следующее состояние на поверхности ограничения. После вычисления коэффициента усиления Калмана обычным способом мы получаем оптимальный коэффициент усиления после решения этого уравнения:

K = трассировка argmin [(I – KH) * inv (P) * k (I – KH) ’+ KRK] такая, что D * x = d.

И это решение:

K = K – D ’inv (DD’) * ​​(D * x− d) * inv (R ’* inv (S) * R) * R’ * inv (S)

Государственный прогноз

В этом методе первый фильтр Калмана применяется обычным способом, вычисляется окончательная обновленная оценка, а затем, если состояние не соответствует ограничению, оно проецируется на ограниченную поверхность, и это делается путем решения уравнения:

x = argmin ((x – x_est) ’* W * (x – x_est), такой что Dx = d,

x = x – inv (W) * D ’* inv ((D * inv (W) * D’)) * (Dx-d);

Где W – любая положительно определенная весовая матрица, Если W – матрица идентичности, тогда мы получаем оценку наименьших квадратов состояния, на которое налагаются ограничения состояния, и если мы устанавливаем W = inv (P_prev), то мы получаем оценку максимальной вероятности состояние, подчиненное ограничениям состояния, которое является решением минимальной дисперсии фильтра.

Нелинейные ограничения

Для нелинейных ограничений мы можем линеаризовать ее относительно точки, чтобы сделать ее линейной комбинацией переменной состояния, чтобы ограничение принимало выражение, подобное

D * x = d, и тогда мы можем применить ограничения, как если бы они были линейными ограничениями.

Для нелинейных ограничений, если оно линеаризуется в течение очень малого интервала, а разница между фактическим значением и ограниченным значением больше, чем эта линеаризация, не будет эффективной, в то время как функция должна линеаризоваться только в течение очень малого интервала, поэтому всегда лучше приводить ограниченное значение и нормальное значение для уровня, чтобы мы могли применить линеаризацию.

Ограничение неравенства

Есть много ситуаций, когда нам приходится применять ограничение неравенства, например, когда человек стоит на месте, тогда сила реакции на землю всегда положительна. Таким образом, существует ограничение на систему F> = 0 или D * x> = d.

Применение ограничения неравенства также «почти» аналогично применению ограничения равенства вместо проецирования его на поверхность ограничения, у нас есть объем ограничения.

Таким образом, «метод активного набора» используется для уменьшения набора ограничений только до тех ограничений, которые активны и игнорируют другие, поэтому в неравенстве размер ограничения D и d изменяется динамически и определяется тем, сколько ограничений активно в этот момент.

Как только набор ограничений определен, ограничения применяются так, как если бы они были ограничением равенства.

Метод линеаризации

Если уравнение ограничения является нелинейным, которое, как правило, является нелинейным, а уравнение состояния также обычно является нелинейным, поэтому мы используем расширенный фильтр Калмана вместо фильтра Калмана.

Поэтому нам нужен правильный метод линеаризации, чтобы мы могли распространить свойства линейной функции на нелинейную функцию, даже если они больше не являются оптимальными.